Filmer les rebonds des balles blanche, bleue et rouge

Nous avons donc nos trois balles rebondissantes et notre but est de trouver laquelle rebondira le plus haut... Pour cela, nous lâchons chaque balle à une hauteur d'un mètre et nous effectuons plusieurs vidéos (ralenties x4) du rebond de chacune de ces balles. Nous avons retenu une vidéo pour chacune de ces balles :

Nous allons maintenant exploiter ces vidéos grâce au logiciel LatisPro. Cette application, déjà utilisée durant les années précédentes pour d'autres usages comme la réalisation d'un graphique concernant les ultrasons, est un logiciel qui permet entre autres, le pointage vidéo. Notre objectif est d'utiliser cet outil pour obtenir une courbe représentative de la hauteur de chaque balle en fonction du temps, c'est-à-dire, la hauteur des rebonds de chaque balle. Afin de réaliser cette courbe, nous devions prendre le bon référentiel d'un mètre entre le sol et le point de largage de la balle puis pointer image par image la position de la balle. La courbe était ensuite automatiquement tracée par le logiciel.  En analysant ces graphiques, nous verrons qu'il est possible de trouver la hauteur maximale pour chaque rebond de chaque balle, ainsi que d'autres paramètres qui vont nous aiguiller dans le choix de la plus performante des trois balles.

Voici tout d'abord un aperçu de chacun des graphiques :

Le coefficient de rebond

Pour déterminer de façon précise ces hauteurs maximales, nous avons eu recours à la fonction tableur de LatisPro. Cette fonction permet d'inscrire les coordonnées de chaque point automatiquement dans un tableur. Toutes ces données ont ensuite été copiées dans une feuille de calcul Microsoft Excel, dans l'optique d'effectuer des calculs.

Nous souhaitons donc déterminer la meilleure balle, c'est-à-dire, celle dont le rebond est le plus important. Pour cela, nous pouvons utiliser la formule conçue par l'ingénieur d'INSA Gérard Villemin : 

De cette formule, nous avons pu en déduire que pour qu'une balle rebondisse beaucoup, c'est-à-dire possède la plus grande altitude après un rebond, il fallait qu'elle ait un grand coefficient de rebond.

De ce fait, la meilleure de nos trois balles sera celle qui a le plus grand coefficient de rebond.

Nous allons donc les calculer : tout d'abord isolons T. Pour cela, nous avons recours à un opérateur mathématique qui figure dans le programme de Terminale S, le logarithme naturel.

Il est maintenant temps d'appliquer cette formule à chacune des trois balles. C'est parti !

La balle bleue

Voici les données dont nous disposons, récoltées à partir du tableur : 

Nous avons donc :

La balle rouge

Voici les données dont nous disposons, récoltées à partir du tableur :

Nous avons donc : 

La balle blanche

Voici les données dont nous disposons, récoltées à partir du tableur :

Nous avons donc : 

Ainsi, le meilleur coefficient de rebond est obtenu pour la balle bleue. Ce serait donc la meilleure balle que nous puissions synthétiser à notre niveau.

De plus, pour appuyer et vérifier notre résultat qui démontre que la balle bleue est la plus performante, nous pouvons étudier les énergies relatives au rebond de chaque balle. En effet, dans le tableur, nous avons calculé la vitesse de chacune des balles en fonction du temps. Voici les graphiques correspondants : 

Nous avons ajouté à notre tableur une colonne pour calculer l'énergie cinétique et potentielle de chaque balle en fonction du temps. Voici un graphique représentant ces deux énergies en fonction du temps pour la balle bleue par exemple : 

Sur ce graphique, la courbe jaune représente la variation de l'énergie cinétique. Ici nous remarquons cependant que le pointage vidéo est imprécis. En effet, cette dernière se calcule par : 

La vitesse v étant un paramètre issu de l'analyse de la vidéo de l'expérience, on comprend bien que le pointage vidéo manque de précision. Ceci est encore plus vrai car c'est le facteur vitesse qui est élevé au carré.

Quant à elle, la courbe verte, qui représente la variation de l'énergie potentielle de la balle, est beaucoup plus précise : aucun facteur de la formule n'est directement relatif à l'exploitation de données expérimentales.

En examinant ce graphique, nous avons constaté une soudaine perte d'énergie cinétique lors des collisions avec le sol : 

Avec l'aide d'une personne extérieure au groupe, nous avons compris qu'en réalité, lors du choc avec le sol, la totalité de l'énergie cinétique sera transformée en énergie élastique. Elle est ensuite presque restituée en énergie cinétique lors du retour élastique, c'est-à-dire lorsque la balle décolle du sol. Tout le problème est dans le "presque". En effet si la totalité de l'énergie cinétique était restituée après le rebond (ce qui n'a encore jamais été fait), la balle rebondirait à l'infini. Mais alors, qu'est devenu le reste de l'énergie qui n'est pas restitué en énergie cinétique après rebond ?  

"Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme" 

                                                                                  Antoine Lavoisier

Si le reste n'est pas perdu, en quoi est-il transformé ? Nous avons appris qu'il y a aussi transformation en énergie thermique par exemple. Le fait que la balle puisse absorber de grande déformations sans rompre lui permet d'accumuler un maximum d'énergie sous forme d'énergie élastique. Donc, une balle "classique" transformera moins d'énergie cinétique en énergie élastique qu'une balle rebondissante, et transformera plutôt cette énergie en énergie thermique, ou autre.

Ainsi, il y dissipation plus ou moins importante selon la qualité du rebond, donc de la balle. En effet, cette élasticité au rebondissement dépend du coefficient de restitution.

Il se calcule par :

Avec e sans unité et les vitesses en m/s.

Ici encore, la meilleure balle sera celle qui possède le coefficient de restitution le plus élevé. Théoriquement, ce sera censé être la balle bleue tout comme pour le coefficient de rebond calculé précédemment.

La balle bleue a le plus grand coefficient de restitution. Nos résultats sont désormais appuyés par d'autres. Nous en déduisons que la bleue est la plus performante.

Nous remarquons que l'ordre croissant du coefficient de rebond de chaque balle et celui du coefficient de restitution de ces balles sont les mêmes. Nous comprenons donc que les deux sont liés : plus une balle repart vite après un rebond, plus elle montera haut.

Combien de rebonds effectuera la balle avant de s'arrêter ?

On considère que la balle ne rebondit plus quand elle fait un rebond inférieur à 1cm.

Voici une vidéo nous permettant de résoudre ce problème grâce à une modélisation de cette balle et à la notion de suites arithmétiques et géométriques.

                    Logiciel utilisé pour la modélisation : Blender                      Logiciel utilisé pour le montage de la vidéo : Sony Vegas Pro 13.0

Finalement, nous avons :

Balle bleue :

Nous reprenons le résultat trouvé dans la vidéo : 1426.71 cm, soit environ 14.27m.

Balle rouge :

Nous reprenons exactement les mêmes étapes que dans la vidéo avec la balle bleue. La balle rouge a, rappelons-nous, un  coefficient de restitution de 0,86. Sur la calculatrice on trouve que c'est à partir du 31ème rebond que la hauteur maximale est inférieure à 0,01 m.  En utilisant la même formule démontrée dans la vidéo, nous trouvons le résultat suivant : 

Ainsi la balle rouge lâchée d'une hauteur de 1 m parcourra une distance verticale d'environ 1317 cm, soit 13,17 m.

Balle blanche :

La méthode est la même pour calculer la distance verticale théorique parcourue par la balle blanche :

On obtient environ 662 cm, soit 6,62 m, ce qui est bien inférieur au deux autres balles, particulièrement la bleue.

Ainsi, la balle bleue est encore une fois la meilleure dans la mesure où elle parcoure la plus grande distance verticale, c'est-à-dire rebondit plus longtemps.

Un tableau récapitulatif des calculs réalisés :

Conclusion : Finalement, nous avons mis à profit nos nouvelles connaissances sur le phénomène du rebond pour ensuite concevoir et réaliser des balles efficaces. Puis, nous avons fait appels à de la théorie, avec les mathématiques, ainsi qu'à l'exploitation de résultats expérimentaux, dans le but de déterminer la balle la plus optimisée. Nous pouvons affirmer avoir atteint notre objectif qui était de rivaliser avec les balles du marché, dans la mesure où notre balle possède les mêmes propriétés et des paramètres de rebond égaux, voire supérieurs aux balles industrielles. L'enjeu environnemental est lui aussi validé : notre balle rebondissante n'utilise pas d'énergie fossile, comme le font les balles en caoutchouc avec les hydrocarbures. Toutefois, pourrions-nous trouver un intérêt à cette matière élastique autre qu'un simple jouet ? En effet, son élasticité pourrait permettre la protection de certains objets techniques, en particulier ceux en proie à des chocs réguliers, comme les téléphones avec les coques, ou bien les voitures avec les pare-chocs...

Voilà, vous arrivez à la fin de notre production écrite sur les balles rebondissantes ! La balle est dans votre camp, tâchez de la saisir au rebond ! 

Pour visualiser nos sources, cliquez ici. N'hésitez pas à nous contacter sur cette page !

A bientôt !